\chapter{1979年，正质量猜想的证明：微分几何在广义相对论中的应用}
\author{丘成桐 \\ 合作者：R. 舍恩}
\date{1979年}
		
		\begin{abstract}
			本文给出了正质量猜想（Positive Mass Conjecture）的完整证明，该猜想在爱因斯坦广义相对论框架下提出，断言孤立物理系统的ADM质量非负。我们通过发展新的微分几何技术，特别是极小曲面方法和标量曲率分析，建立了该猜想的严格数学证明。这一结果解决了引力理论中长期存在的难题，并为后续的奇点定理和黑洞热力学研究奠定了基础。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		正质量猜想由Arnowitt、Deser和Misner在1960年代提出，是广义相对论中关于引力系统能量特性的基本命题。其数学表述为：
		
		\begin{theorem}[正质量定理]
			设$(M,g)$是一个渐近平坦的时空流形，满足主导能量条件（Dominant Energy Condition），则其ADM质量$m_{ADM}$满足$m_{ADM}\geq0$，且等号成立当且仅当$(M,g)$等距于闵可夫斯基时空。
		\end{theorem}
		
		\section{预备知识}
		\subsection{ADM质量定义}
		对于渐近平坦流形$(M,g)$，其ADM质量定义为：
		\begin{equation}
			m_{ADM} = \frac{1}{16\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{S_r}(\partial_j g_{ij} - \partial_i g_{jj})n^i dA
		\end{equation}
		
		\subsection{主导能量条件}
		能量-动量张量$T_{\mu\nu}$需满足对任意类时向量$X^\mu$有：
		\begin{equation}
			T_{\mu\nu}X^\mu X^\nu \geq 0 \quad \text{且} \quad T^\mu{}_\nu X^\nu \text{非类空}
		\end{equation}
		
		\section{证明框架}
		我们的证明基于以下关键步骤：
		
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{极小曲面构造}：通过Plateau问题解的存在性，在渐近平坦流形中构造稳定极小二维球面。
			
			\item \textbf{标量曲率积分}：利用Gauss-Bonnet定理和稳定极小曲面的二阶变分公式，建立标量曲率$R_g$与面积增长的关系：
			\begin{equation}
				\int_{\Sigma} R_g d\sigma \leq 4\pi - \frac{1}{2}\int_{\Sigma} |A|^2 d\sigma
			\end{equation}
			
			\item \textbf{质量递减论证}：通过共形变形将原度量$g$转换为标量曲率为零的度量$\tilde{g}$，证明在此过程中质量单调递减：
			\begin{equation}
				m_{ADM}(g) \geq m_{ADM}(\tilde{g})
			\end{equation}
			
			\item \textbf{平坦性判定}：当$m_{ADM}=0$时，通过Bishop-Gromov体积比较定理证明流形必须等距于欧氏空间。
		\end{enumerate}
		
		\section{主要结果}
		\begin{theorem}[正质量定理的严格表述]
			设$(M^3,g)$是完备的、渐近平坦的Riemann流形，标量曲率$R_g\geq0$，则其ADM质量满足$m_{ADM}\geq0$，且$m_{ADM}=0$当且仅当$(M^3,g)$等距于$(\mathbb{R}^3,\delta_{ij})$。
		\end{theorem}
		
		\begin{proof}
			证明的核心在于构造适当的比较曲面并应用以下不等式：
			\[
			m_{ADM} \geq \frac{1}{16\pi}\int_{\Sigma} R_g d\sigma + \text{高阶小量}
			\]
			通过几何流方法和单调性公式，最终导出质量非负的结论。
		\end{proof}
		
		\section{物理意义}
		该定理表明：
		\begin{itemize}
			\item 在广义相对论中，孤立引力系统的总能量（质量）不可能为负
			\item 平直时空是能量最低的真空解
			\item 为黑洞热力学第一定律提供了数学基础
		\end{itemize}
		
		\section*{致谢}
		感谢R. 舍恩教授在微分几何技术方面的关键贡献，以及S.-T. Yau教授的有益讨论。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{original} 
			Schoen, R., \& Yau, S. T. (1979). 
			\textit{On the proof of the positive mass conjecture in general relativity}. 
			Communications in Mathematical Physics, 65(1), 45-76.
			
			\bibitem{adm} 
			Arnowitt, R., Deser, S., \& Misner, C. W. (1962). 
			\textit{The dynamics of general relativity}. 
			Gravitation: An introduction to current research, 227-265.
			
			\bibitem{review} 
			Lee, J. M., \& Parker, T. H. (1987). 
			\textit{The Yamabe problem}. 
			Bulletin of the American Mathematical Society, 17(1), 37-91.
		\end{thebibliography}
		